Lygtis - tai matematinis uždavinys, kurio tikslas yra rasti nežinomųjų reikšmes, su kuriomis du duoti reiškiniai taptų lygūs. Argumentai, tenkinantys šią lygybę, vadinami lygties sprendiniais arba šaknimis. Lygties sprendinių radimo procesas yra vadinamas lygties sprendimu.
Lygybę [tex]?(x)=g(x)[/tex] vadiname lygtimi su vienu kintamuoju x. Kiekvieną kintamojo reikšmę, su kuria reiškiniai [tex]?(x)[/tex] ir [tex]g(x)[/tex] įgyja lygias skaitines reikšmes, vadiname lygties ašimi. Lygtis, turinčias tas pačias šaknis, vadiname ekvivalenčiomis.
Užrašant apibendrintas lygtis, abėcėles pradžioje esančios raidės (a, b, c, d...) dažnai žymi konstantas, o abėcėles pabaigoje esančios raidės (x, y, z, w...) dažniausiai žymi nežinomuosius.
Iš pastarojo užrašo matome, kad lygybė galioja (kairė pusė lygi dešinei pusei) tada, kai x = 0 arba x = 1, nes vietoje x įsistatę 1 arba 0 gauname teisingas lygybes (atitinkamai, [tex]0^2 - 0 = 0[/tex] ir [tex]1^2 - 1 = 0[/tex]). Taigi, lygties sprendiniai yra 0 ir 1.
Pagrindiniai Lygčių Pertvarkymo Principai
Sprendžiant lygtis, taikomi šie pagrindiniai principai:
- Bet koks dydis gali būti pridėtas arba atimtas prie abiejų pusių. Galima atiminėti bei pridėdinėti ir kintamuosius.
- Abi lygybės puses galima padauginti arba padalinti iš bet kokio dydžio (išskyrus 0).
Dalinti ir dauginti iš reiškinių, kuriuose yra kintamieji, reikia atsargiai, nes galima prarasti sprendinių arba gauti netinkamų. Pavyzdžiui, dalinant iš x, reikia patikrinti, ar lygčiai netinka sprendinys x = 0, o dalijant iš (x - 7), reikia patikrinti ar netinka lygties x - 7 = 0 sprendinys 7 ir t. t. Šios lygties atsakymas yra x=1, bet kadangi dalinome iš x, reikia patikrinti, ar lygčiai [tex]x^2 - x = 0[/tex] netinka sprendinys x = 0. Vietoje x įsistatę 0 gauname [tex]0^2 - 0 = 0[/tex]. Matome, kad lygybė galioja, taigi lygties [tex]x^2 - x = 0[/tex] sprendinys yra ne tik x = 1, bet ir x = 0. Padalinę iš (x - 2) gautume teisingą sprendinį x = 1, bet prarastume kitą teisingą sprendinį x = 2.
Padauginę abi lygties puses iš reiškinių su kintamaisiais galime gauti papildomų sprendinių, netinkančių iš pradžių spręstai lygčiai. Tarkime, turime lygtį [tex]x+2=0[/tex]. Tokia lygtis turės vienintelį sprendinį -2. Bet padauginę abi jos puses iš [tex]x[/tex], gautume lygtį [tex]x(x+2)=0[/tex], kuri turės du sprendinius: -2 ir 0. Bet pradinėje lygtyje [tex]x+2=0[/tex] vietoje x įsistatę 0 gauname [tex]0+2=0[/tex]. Matome, kad ši lygybė negalioja, todėl sprendinį x = 0 reikia atmesti. Panašiai abi tos pačios lygties puses padauginę iš [tex](x+6)[/tex], gautume netinkamą sprendinį x = -6 ir t. t. Bet padauginę abi lygties [tex]x+2=0[/tex] puses iš [tex](x+2)[/tex] papildomų sprendinio negautume.
Kai kintamųjų yra vardiklyje, papildomų sprendinių galima gauti ir dėl kitokių priežasčių. Tarkime, turime lygtį [tex]\frac{x^2}{x+2}=0[/tex]. Ši lygtis turi vienintelį sprendinį x = − 2. Tačiau, jei lygtį pertvarkytume į [tex]x^2 = 0 \cdot (x+2) = 0[/tex], tai gautume sprendinį x=0. Bet kadangi dalyba iš 0 negalima, sprendinys x= - 2 netinka ir lygtis sprendinių neturi.
Lygčių Klasifikacija
Lygtys gali būti klasifikuojamos pagal įvairius kriterijus:
Pagrindinės Lygčių Rūšys
- Kvadratinė lygtis: Lygtį [tex]ax^2+bx+c=0[/tex], kurios a,b,c - realieji skaičiai ir [tex]a \ne 0[/tex], vadiname kvadratine lygtimi. Kai [tex]a=1[/tex], tai kvadratinę lygtį vadiname redukuotąja, kai [tex]a \ne 1[/tex],- tai neredukuotąja. Kai kvadratinės lygties [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] antrasis koeficientas (b) arba laisvasis narys lygus nuliui, tai kvadratinę lygtį vadiname nepilnąja.
- Racionalioji lygtis: Lygtį [tex]?(x)=g(x)[/tex], kurioje [tex]?(x)[/tex] ir [tex]g(x)[/tex] yra racionalieji reiškiniai, vadiname racionaliąja.
- Sveikoji lygtis: Kai [tex]?(x)[/tex] ir [tex]g(x)[/tex] - sveikieji reiškiniai, tai lygtį vadiname sveikąja (pvz. tiesinės, kvadratinės).
- Iracionalioji lygtis: Iracionaliąja lygtimi vadiname lygtį, kkurioje kintamasis yra po radikalo ženklu arba po kėlimo trupmeniniu laipsniu ženklu.
- Rodiklinė lygtis: Rodiklinei lygčiai dažniausiai galima suteikti pavidalą [tex]a^{f(x)} = a^{g(x)}[/tex], čia [tex]a>0, a \ne 1[/tex]. Pvz.: Sprendžiant lygtį [tex]4^x - 3 \cdot 2^x + 2 = 0[/tex], įvesti naują kintamąjį [tex]t=2^x[/tex] ir išspręsti gautą kvadratinę lygtį.
- Trigonometrinė lygtis: Norint išspręsti trigonometrinę lygtį, ją reikia tapačiai pertvarkyti į paprasčiausias: [tex]\sin x = a[/tex], [tex]\cos x = a[/tex], [tex]\tan x = a[/tex], [tex]\cot x = a[/tex]. Lygtis [tex]|\sin x| = a[/tex], kai [tex]a \ge 0[/tex], yra ekvivalenti lygčių [tex]\sin x = a[/tex] ir [tex]\sin x = -a[/tex] visumai.
- Bikvadratinė lygtis: Aukštesniojo laipsnio lygtims priklauso ir bikvadratinė lygtis. Bikvadratinė lygtis [tex]ax^4+bx^2+c=0[/tex], [tex]a \ne 0[/tex] sprendžiama naujojo kintamojo įvedimo metodu: pažymėję [tex]t=x^2[/tex], gauname kvadratinę lygtį [tex]at^2+bt+c=0[/tex].
Aukštesniojo laipsnio lygtys dažnai sprendžiamos naujo kintamojo įvedimo būdu ir kairiųjų pusių skaidymo dauginamaisiais būdu.
Lygčių Sprendimo Metodai
Grafinis Sprendimo Būdas
Apytiksliai lygtis galima spręsti nubrėžiant abiejose lygties pusėse esančių funkcijų grafikus. Grafikų susikirtimo taškai nusakys lygties sprendinius. Jei lygtyje yra vienas kintamasis, tai brėžinys bus plokštumoje ir lygties sprendiniai bus susikirtimo taškų x koordinatės. Tarkime turime lygtį [tex]0,5x + 2 = -x + 5[/tex]. Matome, kad tiesės kertasi vieninteliame taške (2;3). Kadangi mes ieškome x, pirmoji taško koordinatė ir bus lygties sprendinys. Vietoje x įsistatę 2 galime įsitikinti, kad tai yra duotosios lygties sprendinys: [tex]0,5 \cdot 2 + 2 = -2 + 5[/tex]. Kadangi abiejose pusėse atlikus veiksmus gaunasi 3, lygybė galioja ir sprendinys x=2 yra teisingas. Reikia pastebėti, kad abiejose lygybės pusėse įstačius rastą x gaunamas skaičius, kuris yra lygus susikirtimo taško ordinatei. Brėžiant grafikus ranka ir nurodant susikirtimo taškus „iš akies“, paprastai susikirtimo taškai randami tik apytiksliai. Įsistačius apytikslius sprendinius kintamuosius į lygtį, gautos lygybės pusės būna tik apylygės (pvz.: 3,1 = 2,95). Jei funkcijų grafikai kertasi keliuose taškuose, tai visi tie taškai nusakys lygties sprendinius.
Skaidymas Dauginamaisiais
Kai kurios lygtys gali būti išspręstos skaidant jų kairiąsias puses dauginamaisiais. Pavyzdžiui, lygtis [tex]x^2-x=0[/tex] gali būti perrašyta kaip [tex]x(x-1)=0[/tex]. Iš čia matome, kad sprendiniai yra [tex]x=0[/tex] arba [tex]x=1[/tex].
Sprendimas. Perrašykime duotąją lygtį ir išskaidykime kairiąją pusę dauginamaisiais: [tex](y-x)(y^2+xy+x^2)=91[/tex]. Pastebėkime, kad antras dauginamasis yra neneigiamas skaičius su visomis realiosiomis kintamųjų x ir y reikšmėmis: [tex]y^2+xy+x^2=(y+\frac{x}{2})^2+\frac{3x^2}{4} \ge 0[/tex]. Tai reiškia, kad 91 reikia išskaidyti dviem teigiamais dauginamaisiais.
Sprendimas. Duotąją lygtį perrašome, pridedami po vienetą kairėje ir dešinėje lygties pusėje: [tex]xy-x-y+1=1[/tex]. Dabar, sugrupavę narius kairėje pusėje, galime ją išskaidyti dauginamaisiais: [tex]x(y-1)-(y-1)=(y-1)(x-1)=1[/tex].
Sprendimas. Kairiąją lygties pusę išskaidome dauginamaisiais. Tam tikslui vidurinį narį pakeičiame algebrine suma [tex]-3xy+8xy[/tex]. Gauname: [tex]2x^2-3xy+8xy-12y^2=2x(x+4y)-3y(x+4y)=(x+4y)(2x-3y)=28[/tex]. Su natūraliosiomis [tex]x[/tex] ir [tex]y[/tex] reikšmėmis reiškinio [tex]x+4y[/tex] reikšmė yra natūralusis skaičius, be to [tex](x+4y) \ge 5[/tex]. Todėl galimi šie variantai: [tex]28=28 \cdot 1 = 14 \cdot 2 = 7 \cdot 4[/tex].
Sprendimas. Duotąją lygtį perrašome tokiu būdu: [tex]x^2-2xy+2y=0[/tex]. Šios lygties kairiąją pusę išskaidome dauginamaisiais, išskirdami pilną kvadratą: [tex]x^2-2xy+2y=(x^2-2xy+y^2)-y^2+2y=(x^2-2xy+y^2)-(y^2-2y+1)+1=(x-y)^2-(y-1)^2+1[/tex]. Gauname lygtį: [tex](x-y)^2-(y-1)^2+1=0[/tex]. Iš čia [tex](x-y)^2-(y-1)^2=-1[/tex]. Iš to seka, kad [tex](x-y-y+1)(x-y+y-1)=-1[/tex], o tai yra [tex](x-2y+1)(x-1)=-1[/tex].
Sprendimas. Perrašome lygtį tokiu būdu: [tex]x^2-y^2-2y-1=12[/tex]. Išskyrę pilnąjį kvadratą kairėje pusėje gauname: [tex]x^2-(y+1)^2=(x-y-1)(x+y+1)=12[/tex].
Sprendimas Naudojant Diskriminantą
Kai kurios lygtys, ypač kvadratinės ir aukštesniojo laipsnio, gali būti sprendžiamos naudojant diskriminantą. Nagrinėkime duotąją lygtį, kaip kvadratinę kintamojo x atžvilgiu: [tex]5x^2+(8y-2)x+(5y^2+2y+2)=0[/tex]. Skaičiuokime šios lygties diskriminantą: [tex]D=(8y-2)^2-4 \cdot 5 \cdot (5y^2 +2y +2) = 64y^2 -32y + 4 -100y^2-40y-40=-36y^2-72y-36=(-36) \cdot (y^2+2y+1) = (-36) \cdot (y+1)^2[/tex]. Taigi, duotoji lygtis turi sprendinius tik tuo atveju, kai diskriminantas lygus nuliui, t.y. [tex]y=-1[/tex].
Nagrinėkime šią lygtį kaip kvadratinę kintamojo x atžvilgiu: [tex]3x^2+(3y-1)x+3y^2-8y=0[/tex] ([tex](*)[/tex]). Skaičiuokime šios lygties diskriminantą [tex]D=(3y-1)^2 - 3 \cdot 4 \cdot (3y^2 - 8y) =9y^2-6y+1-36y^2+96y=-27y^2+90y+1[/tex]. Taigi, duotoji lygtis turi sprendinius tada, kai jos diskriminantas yra neneigiamas, t.y. [tex]-27y^2+90y+1 \ge 0[/tex], [tex]y \in [ \frac{-45+\sqrt{2052}}{-27} ; \frac{-45-\sqrt{2052}}{-27} ] [/tex].
Sprendimas Naudojant Modulius
Lygtys su moduliu sprendžiamos "nuimant" modulio ženklą. Tai padaryti galime remdamiesi modulio apibrėžimu pagal kurį:[tex]|R(x)|=\begin{cases} -R(x)\hspace{1mm}, kai\hspace{1mm} R(x)<0 \\ R(x)\hspace{1mm}, kai\hspace{1mm} R(x)≥0 \end{cases}[/tex]
Pavyzdžiui, spręskime lygtį [tex]4 - 5x = | 5x - 4 |[/tex]. Pritaikę modulio apibrėžimą, turime, kad:[tex]|5x+4|=\begin{cases} -(5x-4)\hspace{1mm}, kai\hspace{3mm} 5x-4<0 \\ 5x-4\hspace{1mm}, kai\hspace{3mm} 5x-4≥0 \end{cases}=\begin{cases} 4-5x\hspace{1mm}, kai\hspace{3mm} x<0,8 \\ 5x-4\hspace{1mm}, kai\hspace{3mm} x≥0,8 \end{cases}[/tex]Matome, jog kai [tex]x<0,8[/tex], tai [tex]|5x+4|=4-5x[/tex], o juk tai mūsų duotoji lygtis. Vadinasi šios lygties sprendiniai yra visos [tex]x[/tex] reikšmės iš intervalo: [tex]x∈(-∞;0,8)[/tex].
Antrą uždavinį vėl galime sakyti turime kiek "ypatingą", nes jei pertvarkytume lygtį taip:[tex]|x-1|=-|x-2|[/tex]galėtume taikyti tokią logiką. Kadangi [tex]|x-1|[/tex] ir [tex]|x-2|[/tex] yra teigiami su visomis [tex]x[/tex] reikšmėmis, vadinasi įsistatę bet kurią [tex]x[/tex] gauname, jog kairioji reiškinio pusė yra teigiama, o dešinioji neigiama. Bet juk tai yra neįmanoma, nebent abu moduliai įgyja reikšmę 0 su ta pačia [tex]x[/tex] reikšme. Jei tokia [tex]x[/tex] reikšmė egzistuoja, tai yra vienintelis šios lygties sprendinys. Patikriname, ar jis egzistuoja. Sudarome lygtį:[tex]x-1=x-2\implies 0x=-1[/tex] gavome lygtį, kuri neturi sprendinių, vadinasi ir mūsų duota lygtis sprendinių neturi.Taip pat galime mąstyti taip, jog dviejų teigiamų skaičių suma niekada nebus lygi 0. Vienintelis galimas atvejis, jog abu pomoduliniai reiškiniai su ta pačia [tex]x[/tex] reikšme įgyja 0, nes tada 0+0=0.
Modulio lygčių ir nelygybių sprendimas
Sistemų Sprendimas
Kai kuriais atvejais lygtys sprendžiamos sistemomis. Pavyzdžiui, sistemos:
[tex]\begin{cases} x-y=1, \\ x+y=91. \end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases} x-y=-1, \\ x+y=-91. \end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases} x-y=7, \\ x+y=13. \end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases} x-y=-7, \\ x+y=-13. \end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases} x-y=-91, \\ x+y=1. \end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases} x-y=-91, \\ x+y=-1. \end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases} x-y=13, \\ x+y=7. \end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases} x-y=-13, \\ x+y=-7. \end{cases}[/tex]
Sprendimas. Duotąją lygtį perrašome tokiu būdu: [tex]3x=4y+1[/tex]. Kadangi kairioji pusė dalijasi iš trijų, tai ir [tex]4y+1[/tex] turi dalytis iš trijų.
Sveikųjų Skaičių Lygčių Sprendimas
Kai kurių lygčių sprendiniai yra tik sveikieji skaičiai. Tokios lygtys sprendžiamos taikant specifinius metodus.
Nesunku pastebėti, kad skaičių pora [tex](0;0)[/tex] yra duotosios lygties sprendinys. Įrodykime, kad kitų sveikųjų sprendinių lygtis neturi.
1 pavyzdys: Aštuonkojis turi aštuonias kojas, o jūros žvaigždė - penkias. Sprendimas. Pažymėkime aštuonkojų skaičių [tex]x[/tex], o jūros žvaigždžių skaičių [tex]y[/tex]. Tuomet pagal užduoties sąlygą galime sudaryti lygtį: [tex]8x+5y=39[/tex]. Iš lygties išreiškiame kintamąjį y ir išskiriame sveikąją dalį: [tex]y=\frac{39-8x}{5}=7-x-\frac{3x-4}{5}[/tex].
Sprendimas. Iš duotosios lygties išreiškiame kintamąjį [tex]y[/tex] kintamuoju [tex]x[/tex]: [tex]y= -\frac{14x+71}{3x+17}[/tex]. Pastebėkime, kad vardiklis negali būti lygus nuliui, nes [tex]x[/tex] yra sveikasis skaičius. Gautoje trupmenoje išskirkime sveikąją dalį: [tex]y=-\frac{4(3x+17)+2x+3}{3x+17}=-4-\frac{2x+3}{3x+17}[/tex]. Pastarąją lygybę padauginkime iš trijų: [tex]3y=-12-\frac{6x+9}{3x+17}[/tex]. Gautoje trupmenoje vėl išskiriame sveikąją dalį. Gauname sąryšį: [tex]3y+14=\frac{25}{3x+17}[/tex]. Kadangi skaičiai [tex]3y[/tex] ir [tex]14[/tex] yra sveikieji, tai [tex]3x+17[/tex] turi būti skaičiaus [tex]25[/tex] daliklis, t.y. [tex]3x+17 \in \{ \pm 1, \pm 5, \pm 25 \}[/tex].
- 2) Kai [tex]3x+17=-1[/tex], tai [tex]x=-6[/tex]. Tuomet [tex]3y+14=-25[/tex], o tai yra [tex]y=-13[/tex].
- 3) Kai [tex]3x+17=5[/tex], tai [tex]x=-4[/tex]. Tuomet [tex]3y+14=5[/tex], o tai yra [tex]y=-3[/tex].
- 6) Kai [tex]3x+17=-25[/tex], tai [tex]x=-14[/tex]. Tuomet [tex]3y+14=-1[/tex], o tai yra [tex]y=-5[/tex].
tags: #auto #lygties #sprendinys